设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，又设连接（a，f（a）），（b，f（b））两点的直线和曲线

Question

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，又设连接（a，f（a）），（b，f（b））两点的直线和曲线y=f（x）相交于点（c，f（c）），（a＜c＜b）．求证：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f″（ξ）=0．

Answer 1

证明：对函数f（x）分别在[a，c]和[c，b]上应用拉格朗日中值定理：
存在ξ₁∈（a，c），使得f′（ξ₁）=

f(c)?f(a)

c?a

；
存在ξ₂∈（c，b），使得f′（ξ₂）=

f(b)?f(c)

b?c

．
因为（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））共线，
故有：

f(c)?f(a)

c?a

=

f(b)?f(c)

b?c

．
因此，f′（ξ₁）=f′（ξ₂）．
对于函数y=f′（x）在区间[ξ₁，ξ₂]上应用罗尔定理可得：
存在ξ∈[ξ₁，ξ₂]，使得y′（ξ）=f″（ξ）=0．