系数矩阵的行列式不等于0时，齐次方程只有0解，非齐次方程组有唯一解。
系数矩阵的行列式等于0时，齐次方程有无穷多解，非齐次方程组未必有解，但是有解的话必定是无穷多解。
理解秩的概念，当d=0时不就是非满秩，因此有自由变量，自由变量取值是自由的，所以有无数个解。
推导过程：
常数项全为0的n元线性方程组
称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：
当r=n时，原方程组仅有零解；
当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。、
扩展资料：
其他性质：
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
示例
依照定理n=4>m=3一定是存在非零解。
对系数矩阵施行初等行变换：
最后一个矩阵为最简形，此系数矩阵的齐次线性方程组为：
令X4为自由变元，X1，X2，X3为首项变元。
令X4=t，其中t为任意实数，原齐次线性方程组的解为
参考资料来源：百度百科--齐次线性方程组
参考资料来源：百度百科--矩阵行列式
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