深入探讨列联表的独立性检验——卡方检验的独特应用
在数据科学的广阔领域中，列联表是理解定型变量间关系的重要工具，尤其在医学、生物学和社会科学的研究中发挥着核心作用。它通过直观的频数分布，揭示两个或多个变量之间的关联性。本文主要聚焦于二维列联表的分析，高维表的讨论暂且留待后续篇章。
列联表的基本分析问题</
列联表的核心问题是判断两个分类变量之间是否存在关联。例如，设想一个研究，我们想知道性别（二分类）与色盲（二分类）之间是否独立。在2×2的表格中，每个变量的类别组合都是我们关注的焦点。
假设我们用 表示总体中仅属于性别A的概率， 代表仅属于色盲的概率， 则是两者同时存在的概率。卡方检验就是基于这些概率来评估独立假设的合理性。
卡方检验的原理</
原假设是“性别与色盲独立”，即:
，
在原假设下，我们通过极大似然估计（MLE）来计算各个参数，例如第一行中仅A的男性比例（ ）和仅色盲的男性比例（ ），同样适用于其他类别。
接着，计算出卡方统计量:
这里，自由度为 。当选取显著性水平α（如0.05），通过查表得到临界值。
因为实际观测到的统计量值大于临界值，我们拒绝原假设，得出结论：性别与色盲之间存在显著关联。
实例分析</
通过具体的计算和分析，我们看到了卡方检验在实际问题中的应用。它帮助我们揭示了看似微小的频率变化背后可能隐藏的关联模式，为科学研究提供了有力的统计支持。