复合函数求导法则公式

Question

如题所述

Answer 1

u=φ（x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ（x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ（x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ＇(x0)=f'(φ（x0))φ＇(x0)。

证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ（x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ＇（x0)=G(x0),且φ（x)-φ（x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ（x))-f(φ（x0))=H(φ（x))(φ（x)-φ（x0))=H(φ（x))G(x)(x-x0)。

简介：

链式法则（英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x, g(x)=3x+3, g(x)就是一个复合函数，并且＇（)=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。

链式法则用文字描述，就是＂由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。若h(a)=f，则h'(a)=f'g'(x)。链式法则用文字描述，就是＂由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。