当持卡人不幸去世且银行卡丢失时，处理流程相对繁琐。直系亲属需要携带一系列证明文件，如户口簿、身份证、死亡证明等，前往银行进行查询和注销账户。如果账户内有余额，需要进一步办理财产继承公证，通常由继承人亲自去公证处办理，证明与死者的关系以及继承权的分配等。银行会要求提供公证文件，以及相关的身份证明和逝者银行卡等资料，经过银行审核确认后，才能提取账户内的钱款。
办理这些手续不仅涉及多个环节，而且涉及到法律程序，如《商业银行法》和相关通知的规定。例如，合法继承人需要向公证处或法院申请继承权证明书，若存在争议，法院将进行裁决。如果存单持有人未声明继承过程或未提供法院判决，银行可能按正常程序处理，后续的继承纠纷银行则不负责任。
对于海外继承人，如华侨、港澳同胞或外国公民，也有特定的规定，需要提供相应的死亡证明、亲属证明或通过大使馆/领事馆认证，根据所在国的双边领事协定办理继承手续。
总之，处理这种情况下银行卡的处理是一个法律和手续繁多的过程，需要耐心和充分准备，特别是涉及到小额存款时，可能需要考虑公证费用和最终收益。