为什么函数在点x可导的必要不充分条件是连续且有界？

Question

如题所述

Answer 1

定理内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　

(1)在[a,b]连续 　　

(2)在(a,b)可导 　　

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易证明此函数在该区间满足条件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]连续; 　　

3.G(x)在(a,b)可导. 　　

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

扩展资料：

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

那么在开区间(a,b)内至少有一点  使等式  成立。

其他形式记  ,令  ,则有上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分  是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。

辅助函数法：

已知  在  上连续，在开区间  内可导，构造辅助函数 

可得  又因为  在  上连续，在开区间  内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点  使得 由此可得 变形得 定理证毕。

参考资料：百度百科-拉格朗日中值定理