第1个回答 2020-01-08
锐角三角函数的定义
(1)正弦函数(Sine):
(2)余弦函数(Cosine):
(3)正切函数(Tangent):
(4)余切函数(Cotangent):
(5)正割函数(Secant):
(6)余割函数(Cosecant):
30º,45º及60º的特别角三角函数值
函数
角度θ
sinθ
cosθ
tanθ
cotθ
secθ
cscθ
2
1
1
2
任意角三角函数的定义
令,则
0º,
90º,
180º及
270º的六个三角函数值
角度θ
函数
90º
180º
270º
90º
180º
270º
sin
θ
0
1
0
1
1
0
1
cos
θ
1
0
1
0
0
1
0
tan
θ
0
无意义
0
无意义
无意义
0
无意义
cot
θ
无意义
0
无意义
0
0
无意义
0
sec
θ
1
无意义
1
无意义
无意义
1
无意义
csc
θ
无意义
1
无意义
1
1
无意义
1
余角公式
负角公式
补角公式
三角恒等式
(1)平方关系
(2)倒数关系
(3)商数关系
三角函数的值域与周期
函数值的范围(值域)
周期
三角函数是周期函数的缘由
sin
x
2π
cos
x
2π
tan
x
任意实数
π
cot
x
任意实数
π
sec
x
或
2π
csc
x
或
2π
正余弦复角公式
设α,
β为任意二角,则
和角的余弦公式
差角的余弦公式
和角的正弦公式
差角的正弦公式
正切复角公式
和角的正切公式
差角的正切公式
两倍角公式
(1)
(2)
(3)
三角形的面积公式
在△ABC中,若以a,
b,
c分别代表
的对应边,表△ABC的面积,则
正弦定理
△ABC中,若以a,
b,
c分别代表
及
的对应边,R为△ABC的外接圆半径,则
余弦定理
Heron定理(海龙公式)
已知△ABC的三边长分别为a,
b,
c,且令
,表△ABC的面积,则
坐标几何
一对垂直相交于平面的轴线,可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是
(0,
0),称为原点。水平与垂直方向的位置,分别用x与y代表。
一条直线可以用方程式y=mx+c来表示,m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于
(0,
c),与x轴则相交于(–c/m,
0)。垂直线的方程式则是x=k,x为定值。
通过(x0,
y0)这一点,且斜率为n的直线是y–y0=n(x–x0)一条直线若垂直于斜率为n的直线,则其斜率为–1/n。通过(x1,
y1)与(x2,
y2)两点的直线是y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2
x1≠x2
若两直线的斜率分别为m与n,则它们的夹角θ满足于tanθ=m–n/1+mn
半径为r、圆心在(a,
b)的圆,以(x–a)
2+(y–b)
2=r2表示。
三维空间里的坐标与二维空间类似,只是多加一个z轴而已,例如半径为r、中心位置在(a,
b,
c)的球,
以(x–a)
2+(y–b)
2+(z–c)
2=r2表示。
三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。
三角学
边长为a、b、c的直角三角形,其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为:正弦(sine)、余弦
(cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。
sinθ=b/c cosθ=a/c tanθ=b/a
cscθ=c/b secθ=c/a cotθ=a/b
若圆的半径是1,则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。
a=cosθ b=sinθ
依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ,我们都可得出下列的全等式:
cos2θ+sin2θ=1
三角恒等式
根据前几页所述的定义,可得到下列恒等式(identity):
tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ
secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ
分别用cos
2θ与sin
2θ来除cos
2θ+sin
2θ=1,可得:
sec
2θ–tan
2θ=1 及 csc
2θ–cot
2θ=1
对于负角度,六个三角函数分别为:
sin(–θ)=
–sinθ
csc(–θ)=
–cscθ
cos(–θ)=
cosθ sec(–θ)=
secθ
tan(–θ)=
–tanθ
cot(–θ)=
–cotθ
当两角度相加时,运用和角公式:
sin(α+β)=
sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=
cosαcosβ–sinαsinβ
tan(α+β)=
tanα+tanβ/1–tanαtanβ
若遇到两倍角或三倍角,运用倍角公式:
sin2α=
2sinαcosα
sin3α=
3sinαcos2α–sin3α
cos2α=
cos
2α–sin
2α cos3α=
cos
3α–3sin
2αcosα
tan
2α=
2tanα/1–tan
2α
tan3α=
3tanα–tan
3α/1–3tan
2α
二维图形
下面是一些二维图形的周长与面积公式。
圆:
半径=
r 直径d=2r
圆周长=
2πr
=πd
面积=πr2
(π=3.1415926…….)
椭圆:
面积=πab
a与b分别代表短轴与长轴的一半。
矩形:
面积=
ab
周长=
2a+2b
平行四边形(parallelogram):
面积=
bh
=
ab
sinα
周长=
2a+2b
梯形:
面积=
1/2h
(a+b)
周长=
a+b+h
(secα+secβ)
正n边形:
面积=
1/2nb2
cot
(180°/n)
周长=
nb
四边形(i):
面积=
1/2ab
sinα
四边形(ii):
面积=
1/2
(h1+h2)
b+ah1+ch2
三维图形
以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。
球体:
体积=
4/3πr3
表面积=
4πr2
方体:
体积=
abc
表面积=
2(ab+ac+bc)
圆柱体:
体积=
πr2h
表面积=
2πrh+2πr2
圆锥体:
体积=
1/3πr2h
表面积=πr√r2+h2
+πr2
三角锥体:
若底面积为A,
体积=
1/3Ah
平截头体(frustum):
体积=
1/3πh
(a2+ab+b2)
表面积=π(a+b)c+πa2+πb2
椭球:
体积=
4/3πabc
环面(torus):
体积=
1/4π2
(a+b)
(b–a)
2
表面积=π2
(b2–a2)