矩阵的秩和特征值有何关系？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的秩和特征值之间的关系是：秩等于非零特征值的个数，如果所有特征值都不为零，则秩等于矩阵的维度。具体的关系还取决于特征值是否重复。
矩阵的秩与其特征值之间存在一定的关系。下面是一些常见情况：
1.对于一个n×n的方阵，它的秩等于非零特征值的个数。换句话说，秩就是特征值不为零的数量。
2.如果一个方阵具有n个不同的特征值，则它的秩始终为n。这是因为不同的特征值对应于线性无关的特征向量，它们可以扩展成矩阵的列空间，使得矩阵的秩最大。
3.如果一个方阵具有重复的特征值，那么它的秩可能小于n。重复的特征值意味着存在相同的特征向量，在计算秩时只能算作一个独立的向量。
矩阵特征值的定义
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成（A-λE）X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式|A-λE|=0。
设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，
系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦（λ）=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。