如果f(x, y)= c为一条直线的充要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f对y的一阶偏导不等于0,证明，对任意常数c，f(x,y)=c为一条直线的充分必要条件是（fy)^2×fxx-2fxfyfxy+fyy(fx)^2=0。

解析如下：

偏导数

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。