设f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内可导,且f(x)为非线性函数

Question

设函数f(x)=[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,但在(a,b)内f(x)不等于零,证明f'(ξ)/f(ξ)=2009
设函数f(x)=[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,但在(a,b)内f(x)不等于零,试证明在(a,b)内至少存在一点ξ使f'(ξ)/f(ξ)=2009

Answer 1

let g(x)=f(x) e^(nx)
g(a)=g(b)=0
==>
在(a,b)内至少存在一点ξ使g'(ξ)=0
i.e. f'(ξ)e^(nξ)+f(ξ)* n e^(nξ)=0
==> f'(ξ)+nf(ξ)=0,
let n=-2009
==>
f'(ξ)/f(ξ)=2009