数学中的三次方程怎么解？

Question

需要介绍具体的解法，再举两或三个例子并进行解答。

Answer 1

设方程 x3 + bx2 + cx + d = 0 的三个根为 x1, x2, x3 ：

韦达定理告诉我们：

x1 + x2 + x3  =  - b

由此我们一眼就能看出，通过平移变换就能使二次项系数变为0。

考虑平移变换 x' = x + b/3，在该变换下，方程的三个根变为

x1' = x1 + b/3,         x2' = x2 + b/3,        x3' = x3 + b/3

于是                                                           

x1' +  x2' +  x3'  =  x1 + x2 + x3  + b  =  -b + b  = 0

由韦达定理即知新方程（它的三个根为 x1' ,  x2' ,  x3' ）的二次项系数等于0。

平移变换 x' = x + b/3 的逆变换为 x = x' - b/3，所以，只要在原方程 x3 + bx2 + cx + d = 0 中作代换

x = x' - b/3, 

那么，不用任何计算，我们就知道，新方程（它以 x' 为变元）的二次项系数必为0。