特征值怎么求？

Question

做特征值的时候，会遇到一些特征多项式用行列式的变换求不到，而要化成三次方程，三次方程该怎么求解呢？[em:15]

Answer 1

考研用的线代从没有说要化成三次方程的.如果要化成三次你不用再折腾了,你肯定化错了.我以前也出现过和你一样不会化的情况.借用李永乐的观点,希望对你有帮助.1.通常不会有直接把哪列加到哪列就可以直接化出来的. 通常要经过两步才行.第一步是:化特征值通常是三阶.你注意观察一下哪两列(行)加起来会有共同的值. 即(加起来后三个元素中有两个可以得到一样的函数 第三个元素为0)第二步是:然后把那公因式直接提到行列性外形成某一行(列)变成了(1 1 0)后就非常容易化了[]

Answer 2

尽量不要弄成三次方程 在行列式变形的时候 提取公因子

Answer 3

你试着用某一行或列展开，你就会有豁然开朗的感觉

Answer 4

一、基本概念与结论
定义1 设是数域上的一个向量空间， 是 上的一个线性变换，，如果存在非零向量，使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。
命题1 设是数域上的一个维向量空间，是的一个基，是上的一个线性变换，它在此基下的矩阵为。若是的属于特征值的一个特征向量，则是齐次线性方程组的一个非零解且有；反之，若且是齐次线性方程组的一个非零解，则是的属于特征值的一个特征向量。
定义2 设为数域上的阶矩阵，，如果存在非零向量，使得，就称是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量。
定义3 设矩阵，则称为矩阵的特征多项式，称为的特征矩阵，称为的特征方程。阶矩阵的特征多项式是的次多项式。在复数域上的根称为特征根。
定理1 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而特征值也相等。反之未必成立。如与有相同的特征值，但它们不相似。
定义4 设是数域上维向量空间上的一个线性变换，称关于的任一个基下的矩阵的特征多项式为线性变换的特征多项式。
定理2 设是数域上维向量空间上的一个线性变换，，则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根。
定理3 设，则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根。
定理4 若和都是的属于特征值的特征向量，则也是的属于特征值的特征向量（其中）。
定义5 设是矩阵的一个特征值，称齐次线性方程组的解空间为的关于特征值的特征子空间，记作。阶矩阵的特征子空间是维向量空间的子空间，它的维数为秩。
定理5 设的个特征根为的特征多项式为，则：
(1) ；
(2) ；
(3)

其中 表示由的第行与
第列的各交叉元素依次组成的行列式。
推论1 设是一个阶矩阵，则是一个可逆矩阵当且仅当的特征根都不为零。
性质1 若是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，是一个多项式，则：
(1) 是的特征值，是的属于的特征向量，
(2) 是的特征值，是的属于的特征向量，是
任意正整数；
(3) 是的特征值，是的属于的特征向
量。
(4) 当可逆时，是的特征值，是的属于的特
征向量。
性质2 矩阵和的特征值相同。
二、例子
例1 对任一维非零向量，都有，从而是
的特征值，是单位矩阵的属于特征值的特征向量。
例2 设是阶矩阵，是齐次线性方程组的非零解，
则，从而是的特征值，非零解是的
属于特征值的特征向量。
例3 设，则对于，有：
，
从而是的特征值，非零解是的属于特征值
的特征向量。
例4 求矩阵的特征值和特征向量。
解：矩阵的特征方程为： ，
化简得，
从而的特征值为 (二重)。
（1）当时，由，
即得其基础解系为，
因此是的属于特征值的特征向量。
（2）当时，由，
即
得其基础解系为，
因此是的属于特征值的特征向量。
例5 设，
(1) 求的特征值和特征向量；

(2) 求可逆矩阵，使为对角阵。
解：(1) 由得的特征值为
（二重特征值）。
当时，由，
即得基础解系为，
从而的属于特征值的特征向量为。
当时，由，
即得基础解系为，
，
从而的属于特征值的特征向量为
（其中且不同时为零）。
(2)令，则，
从而是可逆矩阵；又
，
即：，从而。
例6 设上线性变换关于基下的矩阵是
，求的特征值和相应的特征向量。
解：矩阵的特征方程为：

它只有一个实根。
由，即
得其基础解系为，
从而这个方程组的解为，
因此的属于特征值4的特征向量为：本回答被网友采纳

Answer 5

试根求解 也就是那个二分法