如何利用初等变换解决用极大线性无关组表示向量组中其余向量

Question

要举列说明，例子越多越好，是大一的线形讨论，我会追加积分的

Answer 1

假如：a1=（1,2,3,-1)T，a2=(3,2,1,-1)T,a3=(3,3,1,1)T,a4=(2,2,2,-1)T
其中T代表转置
求a1,a2,a3,a4的相关性，并求其极大无关组，
并将其余向量用极大无关组表示

将矩阵写为（a1,a2,a3,a4)的形式：
1 3 2 2
2 2 3 2
3 1 1 2
-1 -1 1 -1
将第一行分别乘以-2，-3，1再加到第二，三，四行上
1 3 2 2
0 -4 -1 -2
0 -8 -5 -4
0 2 3 1
继续进行行变换，将第二行乘以-2，1/2加到第三行，第四行，
然后继续化简，可以得到最后的形式
1 0 0 1/2
0 1 0 1/2
0 0 1 0
0 0 0 0

分析，因为最后出现了全0行，所以其矩阵的秩<4
所以a1,a2,a3,a4是线性相关的。
极大无关组的寻找。（阶梯型）
从第一行开始。可以看到第一个元素，不为零，（为零则继续。）那么转折向下遇到第二行的元素，不为零，在转折向下，一直找到没有不为零的。
对于本题。
从第一行开始。可以看到第一个元素，为1，那么转折向下遇到第二行的第二个元素，为1，再转折向下，第三个第三个元素，为1，再转向下，没有不为0 的元素了。取每个转折处所在的列组成的矩阵即极大无关组
即（a1,a2,a3）

那么a4=？？
看本题最后的化简。
a1 a2 a3 a4
1 0 0 1/2
0 1 0 1/2
0 0 1 0
0 0 0 0
显然，a4的第一个元素1/2可以用1/2a1表示。（因为a1被化为（1,0,0,0)T了），同理，第一个元素1/2可以用1/2a2表示
因为，第三个，第四个元素均为0，所以不需要表示，那么
a4=1/2a1+1/2a2

总结一下：
对于给定a1,a2,a3，...的向量，要求其相关性，极大无关组，以及其余向量用极大无关组表示的问题：
1.将向量写成列向量组成的矩阵。如上面的例子
2.使用行变换，将矩阵化为
1 0 0 0...b0 b1..
0 1 0 0...
...
0 0 0 .. 1 b2n-1 b2n...
0 0 0 0 0 0 。。。 0 0 0
的形式，即前半部分是一个单位对角阵，后面是系数。
那么前面的单位阵就是极大无关组。
后面的元素（对应各自的向量，表示就是其系数乘以前面的极大无关组）
例如
假设上面的（vb0,b2...b2n-1)对应的是ak，极大无关组为（va1,a2,...am）
则

ak=b0a1+b2a2+...b2n-1am
。。。。

对于求极大无关组可能会出现这种情况
1 0 0 3/2
0 1 1 1/2
0 0 0 0
第二行出现了两个非零数，使用阶梯形式时，选a1,a2或者a1,a3均可作为其极大无关组。也就是说同一阶梯层出现两个不为零的数，可以任选其一作为极大无关组（这种出现两个的情况只可能出现在非全零行的最后一组）