函数对称性证明 1.函数y=f(x)满足:f(a+x)=f(b-x),那么该函数图象关于直线x=(

Question

函数对称性证明
1.函数y=f(x)满足:f(a+x)=f(b-x),那么该函数图象关于直线x=(a+b)/2对称.

2.函数f(x)满足f(a+x)=2c-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,c)对称.

Answer 1

1 推导:令t=a+x,则x=t-a
由f(a+x)=f(b-x)可得f(t)=f(a+b-t)

用x替换t

得f(x)=f(a+b-x)
所以y=f(x)的图像关于图像关于x=(a+b)/2对称
2
证明由f(a+x)+f(b-x)=2c
用x-a代替x代入上式
则 f (x) + f (a+b－x) =2b
设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (a+b－x) =2c∴f (x0) + f (a+b－x0) =2c，即2c－y0 = f (a+b－x0) 。 故点P‘（a+b－x0,2c－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A ((a+b)/2，c)对称，
故函数f(x)的图象关于点（(a+b)/2，c)对称。