求长方形的面积必须知道它的长和宽吗
——谈充分条件、必要条件和充要条件
◇沈徐建 朱乐平
大家都知道，长方形的面积等于长乘宽，用字母可以表示为S＝ab。笔者在听课中发现，有些老师在引导学生得出这个长方形面积公式之后，提醒学生说：“要求出一个长方形的面积，那么就必须知道它的长和宽。”这样的表达其实是错误的。如果我们能弄清四种命题的关系以及充分条件、必要条件和充要条件的含义，就能找到错误的原因。
从结构上分析，每个几何命题都由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为“如果……（条件）那么……（结论）”。用A表示条件，B表示结论，就可以写成：
如果有A，那么有B; 或A?圯B。
用“如果……（条件）那么……（结论）”这种形式，对长方形的长和宽与面积之间的关系进行表达，可以有以下一些表达方式：
（1）如果已知一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；
（2）如果已知一个长方形的面积，那么就可以求出（或确定）这个长方形的长和宽；
（3）如果不知道一个长方形的长和宽，那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；
（4）如果不知道长方形的面积，那么就不能求出（或确定）这个长方形的长和宽。
在上面的这些命题中，有肯定语气的命题和否定语气的命题。一个肯定语气的命题，以否定语气叙述时就得到了另一个命题；再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题。所以命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题和逆否命题。上面列举的四个命题（1）～（4）依次可称为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
如果不管命题的具体内容，只从它的结构形式来研究，上述四种命题可以简单表述为：
原命题：如果有A，那么有B；或A?圯B。
逆命题：如果有B，那么有A；或B?圯A。
否命题：如果没有A，那么没有B；或A?圯B。
逆否命题：如果没有B，那么没有A；或B?圯A。
这四种命题之间存在着下面的关系：……由上面的例子可知：成互逆或互否关系的两个命题，不一定同真同假；但互为逆否关系的两个命题，真则同真、假则同假。这种真则同真、假则同假的两个命题叫做等价命题。因此，原命题与它的逆否命题是等价的，原命题的逆命题与否命题也是等价的。利用命题的这种等价关系，要证明一个数学命题时，可以用证明和它等价的命题来代替，这样，数学命题的证明就多了一条思路。
弄清了四种命题及它们的关系后，我们可以进一步研究充分条件、必要条件和充要条件。
一个命题表示条件与结论之间的某种关系。某一事物的发生与存在，会促使另一个事物的发生与存在，或某一事物的不发生与不存在，也会促使另一事物的不发生或不存在。事物之间的这种关系，叫做条件关系。其中有充分条件、必要条件和充要条件等关系。
如果A成立，那么B成立，即A?圯B，这时我们说条件A是B成立的充分条件。“充分”的含义是：为使B成立，具备条件A就足够了。用日常语言表达充分条件的含义就是“有之必然”。例如：
命题：如果知道一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积。
这个命题的条件和结论分别是：
条件：知道一个长方形的长和宽；
结论：可以求出（或确定）这个长方形的面积。
显然，上面的条件是结论成立的充分条件。
如果A不成立，那么B也不成立，这时条件A是B的必要条件，即：A?圯B。必要条件的特征是“无之必不然”。由命题之间的等价关系可知，命题A?圯B与命题B?圯A等价。也就是说，我们要判断条件A是不是结论B成立的必要条件时，只要把B作为条件，A变为结论，判断条件B是不是结论A成立的充分条件即可。
综上所述，我们可以得出：如果A?圯B，那么A是B成立的充分条件。如果B?
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