如图,在等边△ABC外一点P使得∠APC=30°.
求证:PB²=PA²+PC².
……我忘说了,没有直角这个条件,我不小心多打了……
还有,这道是初二的题,为什么还要用三角函数呢?
本人证明是采用了作一条辅助线的方法,如果所示,过P点作垂线交于BC延长线于D点。
根据题意可得:PB²=PA²+PC²=AC²+PC²+PC²=AC²+2PC²=BC²+2PC²
由三角形PBD可得:PB²=PD²+BD²,
由三角形PCD可得:PD²=PC²-CD²,
将此式代入上式得:PB²=PC²-CD²+BD²=PC²+(BD+CD)(BD-CD)=PC²+(BC+CD+CD)(BC+CD-CD)=PC²+BC²+2BC*CD
由三角形APC可得BC=AC=(1/√3)PC,
由三角形PCD可得:CD=(√3/2)PC,
将这两项代入上式可得PB²=PC²+BC²+PC²=BC²+2PC²=PA²+PC²
故可以证明。
忘说了,∠ACP没说等于九十度
追答图上已经画出是直角了
追问只是忘说了……
现在我补充一下
图上那个直角是不小心画上的
做BO垂直于AC,使AO=AB=OC,即在线段AC的另一侧再画一个正三角AOC。
以O点为圆心,OA为半径画一个圆,则P点在圆周上,这是因为弧AC对应的角AOC=60度,因此,弧AC对应的角APC=30度。OB=√3
设PA=a,PB=b,PC=C,
设角PCO等于x,则角COP=PAI-2x,在三角形COP中应用余弦定理,可得c^2=1+1-2*1*1*cos(PAI-2x)=2+2cos(2x)
角AOP=角COP-PAI/3=PAI*2/3-2x,在三角形AOP中应用余弦定理,可得a^2=1+1-2*1*1*cos(PAI*2/3-2x)=2+cos2x+√3sin2x
角BOP=角COP-PAI/6=PAI*5/6-2x,在三角形BOP中应用余弦定理,可得b^2=1+3-2*1*√3*cos(PAI*5/6-2x)=4+3cos2x+√3sin2x
所以b^2=a^2+c^2