世界顶级数学逻辑竞赛决赛难题（求解答）

Question

问题是这样的：
有一次考试，卷子都锁在保险箱里了。要想开保险箱必须要把上边所有的锁都打开，一种钥匙只能打开一种锁，同一种钥匙能开同一种锁。保险箱上不知道有多少锁。有9个裁判，每个裁判有一些钥匙（不知道多少把）而且：
1：至少要有6个裁判才能打开保险箱。（5个人以下无论如何打不开）
2：随便找出6个裁判就能打开保险箱。（随机6人都能打开）
问：最少有多少钥匙？

这是全球顶级数学逻辑竞赛决赛的一道题，参考答案是504，但是我想知道这个是怎么算出来的。

Answer 1

抽屉原理
9名裁判随机找6人是C(9,6)=84
把钥匙放入84个抽屉中，因为需要6人才能打开，所以最少需要6把钥匙
所以钥匙的数量为84*6=504
昨天晚上回家又想了一下，觉得还是下面的更容易理解
9名裁判随机找6人，剩下的三人必须与6人中的一人的一把钥匙是相同的（否则题设不成立）
因此就是有4把钥匙是相同的，把4把钥匙看成一个元素
在9人中这样的元素的组合是C(9,4)=126，即一共有126种钥匙
钥匙的总数就是126*4=504把
126/6=21 每4人中有21把钥匙是相同的

Answer 2

至少要有6个裁判才能打开保险箱。
推出有6把锁要打开
需要重9个裁判当中抽出6个裁判这里的结果是84种结果
因为随便找出6个裁判就能打开保险箱所以所有的裁判最少6把钥匙在手中（保证每个锁都能开）
所以84*6=504 因为他们是独立的事件所以互不影响

Answer 3

9个裁判中选6个裁判有84种组合，又因为至少需要有6个裁判才能打开保险箱，因此至少需要84*6＝504把钥匙

Answer 4

用排列组合知识也可以:9*8*7=504

Answer 5

有意思