函数的连续性与在该点是否有定义有关系么？ 定义只说在邻域内

Question

如题所述

Answer 1

你给这个图是啥意思？
极限的定义才是说x0的去心邻域内，所以求极限不需要函数在x0点处有定义。
但是连续的定义是说函数在x0点的极限等于函数在x0点的函数值，所以连续都必须要在x0点有定义。追问

图不小心弄的

连续的定义也说的是邻域啊

追答

连续的定义：设函数f（x）在x0的某个邻域内有定义（注意1），如果有lim（x→x0）f（x）=f（x0）（注意2），则称函数在x0点处连续，并称x0为函数的连续点。

先看定义中的注意2处，极限值等于函数值，才能说连续，如果f（x）在x0点处都没定义的话，f（x0）从何而来？再说注意1处，说的是x0的某个邻域内有定义，那么什么是邻域呢？根据邻域的定义：以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作N(a)。设δ是任一正数，则开区间(a - δ, a+δ)就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的δ邻域。记作N(a,δ)，即N(a,δ)={x|a-δ < x < a+ δ}。从邻域的定义也可以看到，邻域是包含了x0这个点的。
那么是什么才不包括x0这个点呢？是x0的去心邻域才不包括。但是连续的定义中，只是说邻域，没说是去心邻域。

追问

哎呀 没说去心

万分感谢

这回不纠结了