求个高中以上解答个数学函数题

Question

f(x1+x2)=f(x1)f(x2), f’(0)=2,求f(x)和f’(x)

Answer 1

由f(x1+x2)=f(x1)f(x2), 得该函数类型为
f(x)=b*a∧x(指数型函数）
f(x)'=b(a∧x)㏑a
所以f'(0)=blna=2
所以a=e∧n,b=2/n所以f(x)=(2/n)e∧(nx)（n!=0)
f'(x)=2e∧x(题目应该还缺条件给你加个条件：f(1）=2e,则f(x)=2e∧x)追问

没缺。。、可以求出f(0)=1代入你那个方程就可以得到N=2了 。。。、方法还不错，其余的也解出来了不过这个最简单清晰了

Answer 2

f'(x)=[f(x+△x)-f(x)]/△x=f(x)(△x-1)/△x=f(x)
我只能到这里了。追问

第2步到第3步有错误

Answer 3

f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)追问

答案猜下就差不多出来了，要过程

追答

可以看看田增伦的函数方程一书，有解释

追问

谢了，不过我要采纳下面那个了- -

追答

有趣，如果函数小于零，如何取对数？

追问

明显大于0你取x1=x2可得f(x)>=0而且f(0)可以求出来等于1

追答

你必须把这句写在前面，证明大于零后，才能取对数

Answer 4

两边取对数
lnf(x1+x2)=lnf(x1)+lnf(x2)
令g(x)=lnf(x)
则g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)
由柯西定理知g(x)=[g(1)]^x
故lnf(x)=xlnf(1)
设f(1)=a
则f(x)=a^x
又f'(x)=a^xlna f'(0)=2
即lna=2 a=e^2
故f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)追问

那个柯西定理能说下全名吗？貌似不是柯西中值定理

追答

应该叫柯西方程
高中知识。

Answer 5

令x1=x2=0,则f(0)=f(0)^2,得f(0)=0或1;
若f(0)=0,则对任意x，f(x)恒等于0，而f'(0)=2,所以f(0)=1;
[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(x)f(△x)-f(x)]/△x， 两边取极限△x->0，
左边=f'(x)，右边=f(x)[f(△x)-1]/△x ****；
△x->0，[f(△x)-1]/△x=，[f(△x)-f(0)]/△x=f'(0)=2，
由***式得 f'(x)=2f(x)，f(0)=1;
解微分方程得f(x)=e^(2x);
f'(x)=2e^(2x)

另外，上边取对数的解答，致命错误为没证明f(x)>0；证明即可。柯西定理用的有错吧。略改后就得到中学解法。追问

最后还是得解微分方程- -，你上面步骤有点麻烦直接代x1=x2就可以得到 f'(x)=2f(x)，代入0就可以得到f(0)=1了

追答

严谨，代x1=x2无法得到f'(x)=2f(x)，
代入0，得到f(0)=1或0吧，严谨啊。
这里微分方程就只是积分。

不严谨的取对数可以了，只适合非过程题，要想证明对所有x不等于0，并不是一步即可吧。