如图，在半径为R的竖直圆形轨道内，有一个质量为m玩具车在做圆周运动．（1）要使小车能做完整圆周运动，

Question

如图，在半径为R的竖直圆形轨道内，有一个质量为m玩具车在做圆周运动．（1）要使小车能做完整圆周运动，小车在最高点的最小速度是多少？（2）不计一切摩擦和空气阻力，要使小车能做完整圆周运动，小车在最低点的速度满足什么条件？（3）若考虑摩擦，小车在最低点的速度是3gR，经过半周到达最高点时对轨道的压力大小等于12mg，则此半周过程中，小车克服摩擦做多少功？

Answer 1

（1）由牛顿第二定律，在最高点时重力提供向心力，有：
mg=m

v 2m

R

解得：v_m=

gR

（2）由机械能守恒定律，并以底端所在平面为零势能面可得：

1

2

mv_低²≥

1

2

mv_m²+mg?2R
所以 v_低≥

5gR

（3）在最高点，由合力提供向心力，则得
 

1

2

mg+mg=m

v 21

R

所以 v₁=

3 2 gR

当物体从最低点运动到最高点过程中，运用动能定理有：W_克f=

1

2

m

v

22

-（

1

2

m

v

21

+mg?2R）=

7

4

mgR
答：（1）小车在最高点的最小速度是

gR

．
（2）小车在最低点的速度满足v_下≥

5gR

．
（3）则此半周过程中，小车克服摩擦做

7

4

mgR的功．