高一的数学题帮帮忙 高分悬赏

Question

如图所示,在△AOB中,向量OA=a,向量OB=b,点P在直线AB上,且满足向量OP=2tPA+tOB(t属于R），求PA的模/PB的模的值

要具体步骤，可以追加10分

Answer 1

答案：1: 2
解：由题得：向量PA=向量OA-向量OP
因为，向量OA=a, 向量OB=b, 向量OP=2tPA+tOB ( 这里，PA是指向量PA,OB是指向量OB)
所以，向量PA=a-(2tPA+tb)
由题知：1+2t≠0 ，(如果，1+2t=0，则，a+(-t)b=0 即：向量a,向量b共线,与题设矛盾！)
所以，向量PA=[1/(1+2t)]a+[-t/(1+2t)]b ( 这里，a是指向量a,b是指向量b)
又因为, 向量PB=向量OB-向量OP=b-[2tPA+tOB ]=b-2t{[1/(1+2t)]a+[-t/(1+2t)]b}-tb
=[-2t/(1+2t)]a+[(1+t)/(1+2t)]b
因为，向量PA、向量PB共线
所以，存在实数k(k≠0)，使得：向量PA=k*向量PB
即：[1/(1+2t)]a+[-t/(1+2t)]b=k*{[-2t/(1+2t)]a+[(1+t)/(1+2t)]b}
所以，[(1+2kt)/(1+2t)]a+{[-t-(1+t)k]/(1+2t)}b=0
因为，由题知，向量a、向量b 不共线
所以，[(1+2kt)/(1+2t)]=0，{[-t-(1+t)k]/(1+2t)}=0
即：1+2kt=0， -t-(1+t)k=0
消去k 得：2t²-t-1=0 即：(t-1)(2t+1)=0
解之，t=1 或t=-1/2(不合题意舍去)
所以，向量PA=(1/3)*(a-b) ( 这里，a是指向量a,b是指向量b)
向量PB=(-2/3)*(a-b) ( 这里，a是指向量a,b是指向量b)
所以，|向量PA|/| 向量PB|=|(1/3)*(a-b)|/|(-2/3)*(a-b) |=1/2
所以，|向量PA|/| 向量PB|=1:2

Answer 2

画三角型ABC，取AB上一点P。设PA的模/PB的模的值为X。AP向量=X*PB向量。AB向量=（X+1)*PB向量，而AB向量=OB向量-OA向量=b向量-a向量 得等式1.
OP向量=OA向量+AP向量=a向量+X*PB向量 而已知OP=2tPA+tOB， AP向量=X*PB向量
得 a向量+X*PB向量=-2tX*PB向量+t*b向量 得等式2
结合等式1,2 得X=（tb-a）/（（t+1）b-2ta）

参考资料：吧、BP