如何判断二次型的正定性？

Question

如题所述

Answer 1

1、行列式法

对于给定的二次型

，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

扩展资料：

二次型是n个变量上的二次齐次多项式。下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式： 

其中a, ...,f是系数。注意一般的二次函数和二次方程不是二次形式的例子，因为它们不总是齐次的。

任何非零的n维二次形式定义在投影空间中一个 (n-2)维的投影空间。在这种方式下可把3维二次形式可视化为圆锥曲线。

术语二次型也经常用来提及二次空间，它是有序对（V,q），这里的V是在域k上的向量空间，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。

参考资料来源：百度百科-正定二次型

Answer 2

一个二次型的正定性可以通过对角线元素法来判断。即通过检查矩阵中斜率大于零的对角线元素是否都大于零，如果是，则该二次型是正定的。此外，可以通过求解其特征值的正负性来判断。如果所有的特征值都为正，则二次型是正定的。