可导和可微的关系

Question

如题所述

Answer 1

可导和可微的关系：可微≥可导≥连续≥可积，在一元函数中，可导与可微等价。

可导定义

设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

设f(x)在x0及其附近有定义，则当a趋向于0时，若[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在,则称f(x)在x0处可导。若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

可导条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。

连续连续可导条件：就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数。

可微定义

设函数y=f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy，即dy=A×Δx，当x=x0时，则记作dy∣x=x0。

可微条件

1、必要条件：若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。