证明多变量函数不可微的方法如下。拿二元实函数为例，因为单变量的极限总会固定一个变量，也就是在一条线上取
去心邻域，分别考虑两个单变量的极限，那就是只考察了函数在十字上的局部性质。而多变量极限是直接在平面上取去心邻域，考察函数在圆内的局部性质。所以多变量极限一般是不能看作各个变量的单变量极限的组合的。所以连续比单变量连续更严格，可微比可偏导更严格，就是因为前者都是多元极限，而后者都是多个一元极限。
多变量函数的极限与连续的结论与单变量的情形是类似的，几乎是直观的推广。引入度量空间，紧集等
拓扑学中的概念会更清晰、方便地描述中的情况.在这里，很多证明甚至只需把单变量情形中的或改写为和即可，因此在证明上会做适当省略。