额..我又仔细考虑了下，想出2种放缩方法，供你参考吧..
法一：放缩构造累乘形式
不妨把3^n/(3^n-1)放缩成3*(3^(n-1)+x)/(3^n+x)（X为待定系数），
以保证前一项的分母能约去后一项的分子，构造累乘。
即3^n/(3^n-1)<3*(3^(n-1)+x)/(3^n+x)，且要尽可能接近。
解不等式，不妨取x=1
即3^n/(3^n-1)<3*(3^(n-1)+1)/(3^n+1)
保留第一项：
b1/1*b2/2*b3/3*....*bn/n=3/2*b2/2*b3/3*....*bn/n
<3/2*3*(4/(3^2+1))*3*(3^2+1)/(3^3+1)*.....*3*(3^(n-1)+1)/(3^n+1)
=2*3^n/(3^n+1).......(*)
只需证(*)式小于2
即2*3^n/(3^n+1)<2
即3^n<3^n+1
显然成立
所以原不等式成立。
这个方法不知道是不是gongyi43所说，不过它确实是可以推广的。
法二：取对数，构造等比数列求和来放缩
两边取对数，有：
ln(3/2)+ln(3^2/(3^2-1))+……+ln(3^n/(3^n-1))<ln2
构造数列an=ln(3/2)*(1-ln(3/2)/ln3)^(n-1)，其前n项和为Sn.
则当n->无穷大，(Sn)=ln2
(Sn=a1(1-q^n)/(1-q),n足够大时,Sn=a1/(1-q))
故只需证ln(1+1/(3^n-1))小于an中对应各项，即能保证∑(1->n) ln(3^n/(3^n-1)) <ln2
即只需证ln(1+1/(3^n-1))<ln(3/2)*(1-ln(3/2)/ln3)^(n-1)，
令f(n)=ln(1+1/(3^n-1))-ln(3/2)*(1-ln(3/2)/ln3)^(n-1)，
到此步，因为有ln，所以很烦，但是通过工具验证可得f(n)<=0是恒成立的。
于是b1/1*b2/2*b3/3*....*bn/n<2成立
第二种方法实际上对本题不太适用，因为这题牵扯到许多ln值，计算很不方便，但是在一些其他证明中还是很有用的，
如求证∑(1->n) (2n+1)/(3^n -1)<8/3，就不多说了..Lz可以自己试试吧...
另外，绿水青山总有情同学最后一步忘了取回倒数了，不过这不影响，因为这个解法原本就不对，具体的LZ来评判吧，我去睡了··
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