超难数分题目：证明函数f（x)=∑(sinnx/2^n) (∑上面是∞下面是n=1)在（-∞，+∞）上连续，且有连续的导函

Question

如题所述

Answer 1

e^(ix)/2=a, e^(-ix)/2=b
sinnx/2^n=[e^(i nx)-e^(-inx)]/2^(n+1)=1/2[a^n-b^n]
|a|=1/2<1
|b|=1/2<1
f(x)=1/2[1/(1-a)-1/(1-b)]=(a+b)/[2(1-a)(1-b)]=cosx/[2(1-cosx+1/4]=cosx/(5/2-2cosx)
因为|cosx|<=1,所以分母5/2-2cos>0,因此f(x)在整个实数域都有定义及解析。
所以f(x)在连续及有各阶导数。