设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数。证明:G有且只有一个2阶元素。
证: 依题意,问题可化为证明G有且仅有一个2阶子群。
先证存在性.................
...........................省略
再证唯一性
设有2阶子群H={e,a},K={e,b}
则又因G是交换群,由定理知HK={e,a,b,ab}构成一个4阶子群,
由Lagelanr定理知|HK|||G|
即4|2n,2|n,与“n是一个奇数相矛盾”,所以H=K
我困惑:怎么别人能作这种假设,巧妙地用定理证明,我自己冥思苦想,总也想不到直观的方法。 谢谢!