二项式定理有什么具体应用意义

Question

如题所述

Answer 1

二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用
二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.
　　【图算】 常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：
　　1 4 6 4 1
　　1 5 10 10 5 1
　　…… 15 20 15 6 …
　　1 …… 35 35 21 ……
　　… 70 56 …
　　图上得到=70，==56.
　　故求得展开式中常数项为70 – 2×56 = – 42
　　【点评】 “式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.<, /o:p>
　　杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：
　　1，6，15，20，15，6，1
　　那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.
　　杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.
　　利用二项式推出牛顿切线法开方

公式来源《数学传播》136期
　　开立方公式：
公式来源《数学传播》136期设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式：
　　X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）
　　例如，A=5，,即求
　　5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
　　初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：
　　第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
　　即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,，即1.7。
　　第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
　　即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
　　第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
　　第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
　　偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;
　　当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
　　如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即
　　X(n + 1) = Xn + (A / Xn-Xn)1 / 2.
　　例如，A=5：
　　5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
　　即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
　　第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
　　即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。
　　第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
　　即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
　　每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
　　A=(X±Y)^n=展开。带入公式就是开方公式。X(n+1)=Xn+(A/X^（k-1）-Xn)1/k=Xn-f（x）/f‘（x）。
　　f'（x）=kx^(K-1);f(X)=X^K-A。　即牛顿切线法
　　　就是在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法。