中考压轴题精选及解析
http://www.jiaoyuzy.com/Soft/shx/zhongkao/yiqianshijuan/200704/11519.html1、（2006 广东省实验区）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 是等腰梯形， ， ，点 为 轴上的一个动点，点 不与点 、点 重合．连结 ，过点 作 交 于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）当点 运动什么位置时， 为等腰三角形，求这时点 的坐标；
（3）当点 运动什么位置时，使得 ，且 ，求这时点 的坐标．
1、解：（1）过 点作 ，垂足是点 ，
四边形 是等腰梯形，
，
在 中，
，
．
， 点的坐标 ，
（2） ， 为等腰三角形，
为等边三角形．
，
点是在 轴上，
点的坐标 或 。
（3） ，且 ．
，
，
．
，设 ，即 ．
这时 点的坐标 ．
2、（2006江苏省宿迁市）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．
（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填
入下表：
d、a、r之间关系 公共点的个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个；
（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d、a、r之间关系 公共点的个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a
所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝ a；
（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．
d、a、r之间关系 公共点的个数
d＞a＋r 0
d＝a＋r 1
a－r＜d＜a＋r 2
d＝a－r 1
d＜a－r 0
解：
（1）
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；
d、a、r之间关系 公共点的个数
d＞a＋r 0
d＝a＋r 1
a≤d＜a＋r 2
d＜a 4
（2）
所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；
（3）如图所示，连结OC．
则OE＝OC＝r ，OF＝EF－OE＝2a－r．
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF2＋FC2＝OC2
即（2a－r）2＋a2＝r2
4a2－4ar＋r2＋a2＝r2
5a2＝4ar
5a＝4r ∴r ＝ a．
3、（2006 长沙市）如图1，已知直线 与抛物线 交于 两点．
（1）求 两点的坐标；
（2）求线段 的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 在直线 上方的抛物线上移动，动点 将与 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
3、解：依题意得 解之得
3分
（2）作 的垂直平分线交 轴， 轴于 两点，交 于 （如图1）
由（1）可知：
过 作 轴， 为垂足
由 ，得： ，
同理：
设 的解析式为
的垂直平分线的解析式为： ．
（3）若存在点 使 的面积最大，则点 在与直线 平行且和抛物线只有一个交点的直线 上，并设该直线与 轴， 轴交于 两点（如图2）．
抛物线与直线只有一个交点，
，
在直线 中，
设 到 的距离为 ，
到 的距离等于 到 的距离 。
4、（2006 福建南平市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：
（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由：
（2）若设 ， ，当 取何值时， 最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？
4、解：（1）
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中
∴ 又
∴△ABE≌△CBG ∴
（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG
∴
∴
∴ 又∵
∴△ABE∽△DEH ∴
∴
∴
当 时， 有最大值为
（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE
理由：∵ E是AD中点 ∴ ∴
又∵△ABE∽△DEH ∴
又∵ ∴
又 ∴ △BEH∽△BAE
5、（2006 福建泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD.
（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米.
①求隧道截面的面积S（米2）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14，结果精确到0.1米）
解：（1）当AD=4米时，S半圆=
=2 （米2）
（2）①∵AD=2r，AD＋CD=8 ∴CD=8－AD=8－2r
∴S=
=
②由①知 又∵2≤ ≤3
∴2≤ ≤3 ∴2.5≤ ≤3
由①知S=
≈
=－2.43r2＋16r
=
∵－2.43＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线.
∵函数对称轴 ≈3.3
又2.5≤ ≤3＜3.3
由函数图象知，在对称轴左侧S随 的增大而增大，
故当 =3时，有S最大值.
≈
=26.13
≈26.1（米2）
答：隧道截面的面积S的最大值约为26.1米2. …
6、（2006南阳油田）如图，等边三角形ABC的边长为8，点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C后停止运动；点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B后停止运动.若点P，Q同时开始运动，运动的时间为t(秒)(t＞0).
（1）指出当t＝4秒时，点P,Q的位置，此时直线PQ有何特点？
（2）当点Q在AC边上运动时，求△PCQ的面积S1与t的函数关系式.
（3）当点Q在AB边上运动时（点Q与点B不重合），求四边形PCAQ的面积S2与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.
解：（1）当t＝4秒时，点P为BC的中点,点Q与点A重合， 此时直线PQ是△ABC的对称轴（或者说：线段PQ是△ABC中BC边上的高、中线、角平分线）（任说一种即可）如图(1)，作QD⊥BC,垂足为D,则BP=t,PC=8-t,QC=2t,QD= t.
∴
(3)如图(2)，作QE⊥BC,AM⊥BC,垂足为分别为E、M,则BP=t,AM=4 ,BQ=16-2t, QE= .
∴
=
=
自变量t的取值范围4＜t＜8
7、（2006山东枣庄市）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC ：CA＝4 : 3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O.
(l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
(2）当点P运动AB到的中点时，求CQ的长；
(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．
解：( l）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=900.
∴AB=5,AC:CA=4:3, ∴BC=4, AC=3.
又∵AC•BC=AB•CD
∴
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB＝∠PCQ=900, ∠CAB＝∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴
(2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）.
∵P是弧AB的中点，
∴ …6分
又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan∠CAB=
∴ 而从
由（l）得，
(3）点P在弧AB上运动时，恒有
故PC最大时，CQ取到最大值．
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为 。
9、（2006 伊春市）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)OA=6，OB=12 点C是线段AB的中点，OC=AC
作CE⊥x轴于点E． ∴ OE=12OA=3，CE=12OB=6．
∴ 点C的坐标为(3，6)
(2)作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，ODOC=23，于是可求得OF=2，DF=4．
∴ 点D的坐标为(2，4)
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得 解得
∴ 直线AD的解析式为y=-x+6
(3)存在．
Q1(-32，32)， Q2(32，-32)，Q3(3，-3) ，Q4(6，6)
11、（2006贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与 轴相交于点A，与 轴相交于点B。
（1）点P在运动时，线段AB的长度页在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；
（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）线段AB长度的最小值为4 理由如下： 连接OP
因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB
取AB的中点C，则
当 时，OC最短，
即AB最短，此时
（2）设存在符合条件的点Q，
如图①，设四边形APOQ为平行四边形，
因为四边形APOQ为矩形又因为
所以四边形APOQ为正方形
所以 ，
在Rt△OQA中，根据 ，
得Q点坐标为（ ）。
如图②，设四边形APQO为平行四边形
因为OQ‖PA， ，
所以 ，又因为
所以 ，因为 PQ‖OA，所以 轴。
设 轴于点H，在Rt△OHQ中，根据 ，得Q点坐标为（ ）
所以符合条件的点Q的坐标为（ ）或（ ）。
12、（2006贵阳市）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；
（1）假设销售单价提高 元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个；（用含 的代数式表示）（4分）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）
解：（1） ，
（2）设月销售利润为 元，由题意得：
整理得： ，
当 时， 有最大值9000，
答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球售价为70元；
13、（2006北京海淀区） 如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若 ，求CD的长；
（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ）。
解：（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5
所以∠ADB＝90°，AB＝10
在Rt△ABD中，
又 ，所以 ，所以
因为∠ADB＝90°，AB⊥CD
所以
所以
所以 所以
（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD
所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD
因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x
由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x
因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°
所以 所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
所以∠AOC＝∠AOD＝100°
14、（2006锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标；
(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，
试求S与t的函数表达式；
(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
解：(1)∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，
∴OA=AB=BC=CO=4.
过点A作AD⊥OC于D.
∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=2 .
∴A(2,2 )，B（6,2 ).
(2)直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).
∵MN⊥OC，∴ON=t. ∴MN=ONtan60°= t.
.
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).
S= ON•MN= ×t×2 = t.……6分
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).
方法一：设直线l与x轴交于点H.
∵MN=2 - (t-4)=6 - t，
.
(3)由(2)知，当0≤t≤2时， ， 当2＜t≤4时， ，
当4＜t≤6时，配方得 ，
∴当t=3时，函数 的最大值是 .
但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数 的最大值不是 .
而当t＞3时，函数 随t的增大而减小，
∴当4＜t≤6时，S＜4 .……11分
综上所述，当t=4秒时，
16、（2006山东青岛市）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP‖AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
∴ ， ．
∴FG＝ ＝3cm．
∵当P为FG的中点时，OP‖EG ，EG‖AC ，
∴OP‖AC．
∴ x ＝ ＝ ×3＝1.5（s）．
∴当x为1.5s时，OP‖AC ．
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．
∵EG‖AH ，
∴△EFG∽△AFH ．
∴ ．
∴ ．
∴ AH＝ （ x ＋5），FH＝ （x＋5）．
过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．
∵点O为EF中点，
∴OD＝ EG＝2cm．
∵FP＝3－x ，
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP
＝ •AH•FH－ •OD•FP
＝ • （x＋5）• （x＋5）－ ×2×（3－x ）
＝ x2＋ x＋3
（0＜x＜3 ．
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
则S四边形OAHP＝ ×S△ABC
∴ x2＋ x＋3＝ × ×6×8
∴6x2＋85x－250＝0
解得 x1＝ ， x2＝ － （舍去）．
∵0＜x＜3，
∴当x＝ （s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
18、（2006 湖南常德市）把两块全等的直角三角形 和 叠放在一起，使三角板 的锐角顶点 与三角板 的斜边中点 重合，其中 ， ， ，把三角板 固定不动，让三角板 绕点 旋转，设射线 与射线 相交于点 ，射线 与线段 相交于点 ．
（1）如图9，当射线 经过点 ，即点 与点 重合时，易证 ．此时， ．
（2）将三角板 由图9所示的位置绕点 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 ．其中
，问 的值是否改变？说明你的理由．
（1） 在（2）的条件下，设 ，两块三角板重叠面积为 ，求 与 的函数关系式．（图10，图11供解题用）
解：（1）8
（2） 的值不会改变．
理由如下：在 与 中，
即
（3）情形1：当 时， ，即 ，此时两三角板重叠部分为四边形 ，过 作 于 ， 于 ，
由（2）知： 得
于是
情形2：当 时， 时，即 ，此时两三角板重叠部分为 ，
由于 ， ，易证： ，
即 解得
于是
综上所述，当 时，
当 时，
19（2006 临安市）如图，△OAB是边长为 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.
（1）当A′E// 轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E// 轴，且抛物线 经过点A′和E时，求抛物线与 轴的交点的坐标；
（1） 当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.
解：（1）由已知可得∠A，OE=60o , A，E=AE
由A′E// 轴,得△OA，E是直角三角形，
设A，的坐标为（0，b）
AE=A，E= ,OE=2b
所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）与（ ，1）
因为A，、E在抛物线上，所以
所以 ，函数关系式为
由 得
与x轴的两个交点坐标分别是（ ，0）与（ ，0）
不可能使△A′EF成为直角三角形。
∵∠FA，E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，EF=90o或∠A，FE=90o
若∠A，EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A，FE=90o也不可能
所以不能使△A′EF成为直角三角形。
20、（2006南通市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD＝BC＝2，∠DMC＝∠DOB＝60°．
（1） 求直线CB的解析式；
（2） 求点M的坐标；
（3） ∠DMC绕点M顺时针旋转α （30°＜α＜60°）后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F ，设DE＝m，BF＝n .求m与 n的函数关系式．
20. （1）BC解析式：y= (2) 略证 △ODM∽△BMC 设OM=x，2×2＝x（5－x）， x＝1或4 M （1，0）或（4，0） （3）当M （1，0）时，△DME∽△CMF，
CF＝2＋n，DE＝m，∴2＋n＝2m ，即m＝1＋
当M(4 ，0) 时 ∴m＝2（2－n），即m＝4－2n