怎么把三元一次方程组写成广矩阵

Question

如题所述

Answer 1

1.将方程组改写为增广矩阵：

为了省去传统消元法中反复出现但是没有应用价值的未知数符号和运算符，我们可以将线性方程组表示为增广矩阵的形式，也就是把“Ax=b”中的b附在A右侧;

2.确定第一列中的一个非零元素为主元，以方框框起示之。此元素所在行即为主元行：

注意：如果矩阵中的元素以未给出取值范围的字母变量形式表示，必须先假定选定的主元所对应的变量不为0，否则进一步的消元变换不等价（消元系数的分母就是选定的主元，选0为主元是无法消元的）

一般第n个主元选在第n行。若在进行行交换（交换上下行）后仍没有可供选择的非零元素，则说明消元法失效，也即该方程组没有唯一的解，下同;

3.主元行原样写入新矩阵，同时乘以合适的系数与第二行相加使得主元下方的元素变为0，得到的新行写入新矩阵，未作处理的行原样写入。以此类推，直到主元列除了主元外的所有元素（一般为主元下方的元素）为0：

包括最右一行在内，遵循一一数乘，对应相加的原则，不要出现计算错误;

4.确定第二列中的主元;

5.重复步骤3;

6.以此类推，直到增广矩阵中原属A的部分变为上三角矩阵U，原属b的一列变为c，也即“Ax=b”变为“Ux=c”;

7.在U中添加未知数符号和运算符，将U变回方程组，自下而上解出全部未知数。

此类消元法的描述方法还是掺杂了传统方法中的运算方法（倍乘、相加）。如果将其单纯用矩阵语言进行描述，虽然在解方程中不具有实际应用价值，但是可以引出后续学习中矩阵乘法的一些概念。

Answer 2

比如：三元一次方程组：
x+y =2
x +z=2
x+y+z=3
其增广矩阵为：
1 1 0 2 第一行
1 0 1 2 第二行
1 1 1 3 第三行
第一次变换）将第一行乘以(-1)加到第二行和第三行：原矩阵变成：
1 1 0 2 第一行
0 -1 1 0 新二行
0 0 1 1 新三行
第二次变换）新二行加到第一行,得到：新一行：1 0 1 2
第三次变换）新三行乘以（-1）加到上面的新一行,新一行变成：1 0 0 1
到此矩阵变成：
1 0 0 1
0 -1 1 0
0 0 1 1
再行变换）上面第三行×（-1）加到第二行：0 -1 0 -1
再把上面的第二行×（-1）,变成：0 1 0 1
最后矩阵变成：
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
表明方程组的X=Y=Z=1
变换的过程是将系数矩阵变成单位矩阵,
方程的右端项同时参与行变换,从而最后矩阵的第四列
就是方程组的解!