我想找“求定积分的几种方法“

Question

着急啊，朋友

Answer 1

对应不定积分有初等函数解的，即可以积出来的，先积出原函数后就没什么问题。
对应不定积分无初等函数解的。要说具体技巧多了，那只能就题论题，我只能说说思考方向。
1.考虑对称性，利用对称性抵消一部分，剩下一般为简单部分。
2.考虑区间的特殊性，利用换元构造方程。比如0到π/2，f(sinx)与f(cosx)的积分相等，就是换元t=π/2-x后得到的。
3.由定积分的性质拆分区间构造方程。
4.转化为二重积分，交换积分次序后，中间步骤可能会积出原函数。比如0到无穷，[e^(-2x)-e^(x)]/x的积分，可以转化为∫[]0+,∞]dx∫[1,2]e^(-xy)/xdy，先对y积分，则e^(-xy)/x对y可以积出。
5.对于无穷或者半无穷区间的，一般可以用留数法、构造收敛因子、傅立叶变换、拉普拉斯变换等，这些相对比较难了。
6.对于特殊区间，经过换元转化为[0,1]上的积分，用幂级数展开，逐项积分，最后求级数收敛值。
我能想到的只有这么多了。

以上均为求精确解，一般区间对于积不出的情况，只有用数值分析近似求解了。