如何求一个导数的原函数？

Question

如图。。。像这种复合函数就不会求了。。顺便说一下解这类题需要什么技巧？

Answer 1

求一个导数的原函数使用积分，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

积分求法：

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

扩展资料：

原函数的几何意义和物理意义

设f(x)在[a,b]上连续，则由 曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数。

原函数性质：

1、若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

2、函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

3、故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

参考资料来源：百度百科-原函数

Answer 2

已知导数求原函数就是求积分

象这样的复合函数一般是用变量代换。

f(x)=∫√(4-x^2)dx
令x=2sint
则 dx=2costdt
f(t)=∫2cost*2costdt
=2∫2cos^tdt
=2∫(cos2t+1)dt
=sin2t+2t
然后通过 sint=x/2
解得cost=√(1-x^2/4)
得到sin2t=2sint*cost=x/2*√(4-x^2)
再由 sint=x/2，得到 t=arcsin(x/2)
所以
f(x)=x/2*√(4-x^2)+arcsin(x/2)

一般有根号大多通过三角代换来求积分
√(1+x^2) 时 x=1/tant
√(1-x^2)时 x=sint 或者 x=cost
√(x^2-1)时 x=csct
灵活运行三角公式就行了。本回答被提问者采纳

Answer 3

主要是用到变换，将根号里面的经过适当的变换去掉根号，之后就用一些积分公式将其积分出来，最后换成原来变量！比如这个题，我们设x=2cost，这样就可以去掉根号啦！dx=-2sintdt
之后你就只要求f'(t)=2sint*(-2sint)=-4(sint)^2,对于这个积分先将次，在求积分！试试吧！