三次函数的性质以及在高考中的应用 张国棣 三次函数 已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 函数 的导函数为 。我们不妨把方程 称为原函数的导方程，其判别式 。若 ，设其两根为 ，则可得到以下性质： 性质1：函数 ， 若，当时，y＝f(x)是增函数；当时，其单调递增区间是 ，单调递增区间是 ； 若，当时， 是减函数；当时，其单调递减区间是 ， ，单调递增区间是 。 （证明略） 推论：函数 ，当时，不存在极大值和极小值；当时，有极大值 、极小值 。 根据a和 的不同情况，其图象特征分别为： 图1 性质2：函数 若 ，且 ，则： ； 。 （证明略） 性质3：函数 是中心对称图形，其对称中心是（ ）。 证明：设函数 的对称中心为（m，n）。 按向量 将函数的图象平移，则所得函数 是奇函数，所以 化简得： 上式对 恒成立，故 ，得 ， 。 所以，函数 的对称中心是（ ）。 可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝ 的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 下面仅选一些2004年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。 例1. （浙江）设 是函数f(x)的导函数， 的图象如图2所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（ ） 图2 图3 解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则 的图象给出了如下信息： ①； ②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）； ③在（0，2）上 ；在（－，0）或（2， ）上。 由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。 例2. （江苏）函数 在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，－1 B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－19 解：函数的导方程是 ，两根为1和－1，由性质2得： ， 。 故选C。
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