高中数学题 跪求解 解出来后保证高分悬赏！！！

Question

若函数 2f(x)+xf(-x)=x 则f(x)的解析式可取为___________
怕没人回答 先给那么点分 但是解出来后+15分以上
我之前做就是将x=-x 然后化简得到一条2f(-x)+xf(x)=-x
但是我不知道怎么消去f(-x)啊 我就是这里卡住了

Answer 1

注意这类问题！一般都是给你一个类似“公式”的恒等式，需要你“利用该公式”推出其他公式（甚至直接求值），再由这些公式联合求解。
比如本题，给你一个：“2f(x)+xf(-x)=x” ，这个式子对于定义域内的x是恒成立的，无论x=1,2,3,...或x=a,b,c,...，所以我们任给它个值就可以构造出其他公式。比如这里我们令x=-X，则
2f(-X)-Xf(X)=-X，当然对于恒等式中的自变量的写法是没有关系的，X也可以写成x，所以：
2f(-x)-xf(x)=-x 这个可以说是我们构造的第二个公式，利用此公式和题目中给的联立，可以求出：f(x)=(2x+x²)/(4+x²) 。

注：若令本题中x=0，还可以求出函数值f(0)=0。对于一般应取哪些值来构造函数，这个和题目中给的具体函数有关，如出现正、负项，则一般构造相反数，或直接令其等于0；如果出现倒数关系，一般令其取倒数，或直接令其等于±1……。这些经验还需要你在做题中积累。

Answer 2

一楼的，搞错一个符号，
用-x带入得到2f(-x)-xf(x)= -x
答案居然是对的

“问题补充：
我之前做就是将x=-x 然后化简得到一条2f(-x)+xf(x)=-x
但是我不知道怎么消去f(-x)啊 我就是这里卡住了”

2f(-x)-xf(x)=-x 分别乘以 -x 得到 -2xf(-x)+xxf(x)= xx
2f(x)+xf(-x)=x 分别 乘以 2 得到 4f(x)+2xf(-x)=2x
两式相加 得到 (xx+4)f(x)=xx+2x
所以 f(x)= (x^2+2x)/(x^2+4)本回答被提问者采纳

Answer 3

2f(x)+xf(-x)=x为恒等式，则2f(-x)+xf(x)= -x也成立。两式相加得（2－x）f(x)+(2+x)f(-x)=0
近变换后得f(x)/f(-x)=(x+2)/(-x+2)。则f(x)=n(x+2)或f(x)=n(-x+2) [n∈R且n≠0]

Answer 4

用-x带入得到2f(-x)+xf(x)=x……（2）式
原式为（1）式
（1）式乘2再减去（2）式乘x
4f(x)+x^2 f(x)=2x + x^2
=> f(x)= (2x + x^2)/(4 + x^2)

Answer 5

令x = -x；
2f(-x) -xf(x) = -x
联立解的：
f(x) = x/(2-x) （x不等于2）；