数学:数学之友白皮第38页第9题，有没有高手能用两种方法求解？请详细回答，谢谢！ 老师和我们讲过一

Question

数学:数学之友白皮第38页第9题，有没有高手能用两种方法求解？请详细回答，谢谢！ 老师和我们讲过一种sinβ=sin(α+β-β)cos(α+β)
可是我下面不知道该怎么做

Answer 1

sinβ=sin(α+β-α)=sin(α+β)cosα-sinαcos(α+β)，由已知，sinβ=sinαcos(α+β)，两式联立，有
2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα，整理，得2tanα=tan(α+β)

又tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，与2tanα=tan(α+β)联立，整理，有
tanβ=tanα/(1+2tan^2α)=1/(1/tanα+2tanα)，
利用基本不等式，得tanβ≤1/2√2=√2/4，当且仅当
1/tanα=2tanα，即tanα=√2/2时取等号，
此时tan(α+β)=2tanα=√2