用一根手指顶住一个平面图形内的某点,如果平面图形能保持平衡,那么这个点叫这个平面图形的重心,平行四边形的中心是对角线的交点,三角形的重心是三条中线的交点,请你用下图证明三角形的重心分一条中线成的两条线段的比为1:2,即在△ABC中,BE,CD是两条中线,她们交于G,求证:DG:CG=EG:BG=1:2
解:如图,连接AG,交DE于点H,延长AG交BC于点F.
∵点G是△ABC的重心,
∴点F是BC的中点.
∴BF=FC.
∵D、E是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=
1
2
BC,
∴HE∥BE,HE=
1
2
BF.
∴△HEG∽△FBG,
∴
GE
GB
=
HE
BF
=
1
2
,即EG:BG=1:2
同理 DG:CG=1:2.
∴DG:CG=EG:BG=1:2.
二.取BG、CG的中点M、N,连接M、N。证 明三角形DEG全等于三角形MGN,然后 可得DG=NG,EG=MG,所以DG=1/2CG,EG=1/2BG,所以 DE:BC=DG:CG =EG:BG= 1:2.