欲使对称图形中相同部分重复，必须通过一定的操作，这种操作就称之为对称操作（symmetry operation）。在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面），称为对称要素（symmetry element）。
晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下。
1.对称面
对称面（symmetry plane）是一假想的平面，亦称镜面（mirror），相应的对称操作为对此平面的反映，它将图形平分为互为镜象的两个相等部分。
图3-2 P1和 P2为对称面（a），AD 为非对称面（b）
图3-2（a）中 P1 和 P2 都是对称面（垂直纸面），但图3-2（b）中之 AD 则不是图形ABDE 的对称面，因为它虽然把图形 ABDE 平分为△AED 与△ABD 两个相等部分，但这两者并不是互为镜像，△AED 的镜像是△AE 1 D。
图3-3 立方体的9个对称面
对称面以 P 表示。在晶体中如果有对称面存在，可以有一个或若干个，最多可达 9个，如立方体有 9 个对称面（图 3-3），记作9P。
2.对称轴
对称轴（symmetry axis）是一假想的直线，相应的对称操作为围绕此直线的旋转，物体绕该直线旋转一定角度后，可使相同部分重复。旋转一周重复的次数称为轴次n。重复时所旋转的最小角度称基转角α。两者之间的关系为n=360°/α。
对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，写作Ln。
晶体外形上可能出现的对称轴如表3-1 所列。轴次 n ＞2 的对称轴，称高次轴；轴次 n≤2的称低次轴。图3-4举例绘出了晶体中的各种对称轴。
表3-1 晶体外形上各种对称轴及旋转反伸轴的符号及作图符号
图3-4 晶体中的对称轴 L2、L3、L4和 L6举例
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n=1，2，3，4，6五种。这就是晶体的对称定律。
晶体对称定律（law of crystal symmetry）：晶体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴及高于六次的对称轴。晶体的对称定律可以这样理解：在晶体结构中，垂直对称轴一定有面网存在，在垂直对称轴的面网上，结点分布所形成的网孔一定要符合对称轴的对称规律。围绕 L2、L3、L4、L6 所形成的多边形网孔（图 3-5），可以毫无间隙地布满整个平面，从能量上看是稳定的；且这些多边形网孔也符合于面网上结点所围成的网孔（即形成平行四边形状）。但围绕 L5 所形成的正五边形网孔，以及围绕高于六次轴所形成的正多边形网孔，如正七边形、正八边形等，都不能毫无间隙地布满整个平面，从能量上看是不稳定的，且这些多边形网孔大多数不符合于面网上结点所围成的网孔。所以，在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。
图3-5 垂直对称轴所形成的多边形网孔
虽然晶体的对称定律可以直观形象地用上述方法来理解，但严格的证明还是应该用数学方法来进行。如图3-6所示，考虑两个结点 A 和A′，它们相距一个平移单位 t。将一定的旋转操作 R 和它的逆操作R -1（即反向旋转）分别作用在这两点上，从而使 AA′旋转一个角度α得到两个新点 B 和 B′。它们也应都是结点，且 BB′平行于AA′，这就要求 BB′之间的距离必定是基本平移单位的整数倍。因此，可以写成：
图3-6 对称定律的证明图解
结晶学及矿物学
此处m为某一整数。从图中又可得到：
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将（3-1）式代入（3-2）式：
即：
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满足不等式（3-3）的 m 值为
结晶学及矿物学
相应的α值为：
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这就证明了轴次n只能为1，2，3，4，6。
在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多个。在描述中，对称轴的数目写在符号Ln的前面，如3L4、6L2等。
3.对称中心
对称中心（center of symmetry）是一假想的点，所对应的对称操作为反伸，通过该点作任意直线则在此直线上距对称中心等距离的位置上必定可以找到对应点。对称中心用符号C表示。
图3-7 具有对称中心的图形
图3-7 是一个具有对称中心的图形，C 点为对称中心。在通过 C 点所作的直线上，距 C 等距离的两端可以找到对应点，如 A 和 A1、B 和 B1；“反伸操作”可与“反映操作”做对比，两者不同之点仅在于反伸凭借一个点，反映凭借一个面。
一个具有对称中心的图形，其相对应的面、棱、角都体现为反向平行。如图 3-8（a），C 为对称中心，△ABD 与△A1 B1 D1 为反向平行；图 3-8（b）因㊣ABCD与㊣A1 B1 C1 D1 各自尚存在对称中心，所以㊣ABCD 与㊣A1 B1 C1 D1 两者既为反向平行，也为正向平行。
图3-8 由对称中心联系起来的两个反向平行的三角形
在晶体中，若存在对称中心时，其晶面必然成对分布，每对晶面都是两两平行而且同形等大的。这一点可以用来作为判别理想晶体或晶体模型有无对称中心的依据。
4.旋转反伸轴
旋转反伸轴（roto-inversion axis）也是一假想的直线，如果物体绕该直线旋转一定角度后，再对此直线上的一点进行反伸，可使相同部分重复，即所对应的操作是旋转+反伸的复合操作。组成这种复合操作的每一个操作本身可以是对称操作（即操作后相同部分重复），也可以不是对称操作（即操作后并未使相同部分重复），但两者的复合操作一定是对称操作。
旋转反伸轴以表示。由于同样的原因，旋转反伸轴也只能是 n=1、2、3、4、6这几种，符号记为。表3-1 列出部分旋转反伸轴的符号及作图符号。
现以为例来说明。图3-9（a）绘出的多面体 ABCD 称四方四面体，它由 ABC、BDC、ABD 和ACD 四个等腰三角形面所组成，其极射赤平投影如图 3-9（d），其中小黑点代表上半球投影点，小圆圈代表下半球投影点。
图3-9 具的四方四面体及其赤平投影（d）
可以明显地看出，图 3-9a 中的 A、B、C、D 围绕旋转 90°到达 A′、B′、C′、D′的位置（图3-9b）；此时 A′B′C′与BCD 这两个相等的晶面处于反向平行位置（图3-9c）；经过中心点的反伸 A′B′C′和BCD 重合；同理，A′C′D′与ABC、A′B′D′与 ACD、D′C′B′与 ABD 重合；即四方四面体经过旋转反伸作用后，整个图形复原。
旋转反伸轴的作用如图3-10所示。
图3-10 各种旋转反伸轴的图解
值得指出的是，除外，其余各种旋转反伸轴都可以用其他简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下（参看图3-10）：
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上面各种等式的证明，可以图示法（图3-10）进行，也可以用万能公式证明，请同学们在学完下一小节有关知识后自己证明（见习题）。
鉴于以上的代替关系，对旋转反伸轴通常只保留，其他旋转反伸轴都用简单对称要素来代替。保留是因为它不能被其他简单对称要素代替，保留是因为它在晶体的对称分类中有特殊意义。
5.旋转反映轴
旋转反映轴（roto-reflection axis）为一假想的直线，相应的对称操作为旋转+反映的复合操作。图形围绕它旋转一定角度后，并对垂直它的一个平面进行反映，可使图形的相等部分重复。旋转反映轴以表示，其中 s 代表反映，n 为轴次（或用，n 代表它所包含的简单对称轴的轴次，而用2 n 代表其本身的轴次，例如）。
旋转反映轴有），它们相应的基转角为 360°、180°、120°、90°、60°。旋转反映轴的作用图解如图3-11。由此可见：
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图3-11 各种旋转反映轴的图解