如何求e的- x²次方的积分？

Question

如题所述

Answer 1

最常见的方法是使用换元积分法和幂级数展开法，具体来说，可以使用以下步骤进行求解：
令t=x²，从而dt/dx=2x。
将e的-x²次方积分转化为e的-t次方积分，得到：
∫e^(-x²)dx = ∫e^(-t) * (1/2x) dt
对于e的-t次方积分，可以使用幂级数展开法，将其展开为一个无穷级数，即：
e^(-t) = 1 - t + t²/2! - t³/3! + ...
将展开式代入上式，得到：
∫e^(-x²)dx = ∫(1 - t + t²/2! - t³/3! + ...) * (1/2x) dt
对于展开式中的每一项，都可以通过分部积分法来计算积分。具体来说，可以将每一项的1/2x拆分成1/x和1/2，然后分别对t和x进行分部积分。由于积分的下限是0，因此每一项的积分下限都是0。
对于每一项的积分结果，都是一个无穷级数，可以将它们合并成一个级数。最终得到的级数形式为：
∫e^(-x²)dx = 1/2 √π * (1 - 1/2x² + 1/2!/4x^4 - 3/4!/16x^6 + ...)
因此，e的-x²次方的积分可以表示为上述的级数形式。这个级数在数学分析和统计学中都有广泛应用，例如在计算正态分布的概率密度函数时经常用到。