已知函数t(x)导函数的图象关于直线对称，则

Question

如题所述

Answer 1

这道数学题目是一道高中数学的优秀题目，需要运用导数的知识进行解答。
(1) 首先根据题意可知，函数t(x)的导函数的图象关于直线x=2对称。由此可以得出，导函数的表达式为f'(x)=3x^2+2bx+c，对称轴为x=2，因此f'(2-x)=f'(x)。将其代入方程中可得：
3(2-x)^2 + 2b(2-x) + c = 3x^2+2bx+c
化简后得到：x^2 - 4x + b = 0
由对称性可知，该方程的根必然是关于x=2对称的，因此有：
x1 + x2 = 2*4 = 8
因为x2>x1，所以有：x1<2<x2
又因为x1 + x2 = 8，所以x1 = 4 - x2，代入上式可得：
4 - x2 < 2 < x2
解得：-2 < x2 < 6
(2) 根据(1)中的结果，可以求出b=-6。以此为基础，求出t(x)的表达式：
t(x) = x - 6x^2 + cx
令t'(x) = 0，得到二次方程：-12x + c = 0
当c<12时，该方程有两个实根，分别为x1和x2，且有x1<2<x2。此时函数t(x)在x=x1和x=x2处取得极大值，在x=2处取得极小值。
由于t(x)是一个二次函数，因此其开口向下。又因为函数在x=2处取得极小值，所以其顶点坐标为(2, g(t))。
根据二次函数的性质，可以推出g(t)的定义域为(2, +∞)，值域为(-∞, 8)。
综上所述，答案为：
(1) b=-6，x1<2<x2，其中x2的取值范围为-2<x2<6
(2) g(t)的定义域为(2, +∞)，值域为(-∞, 8)。