证明:周长为定值L的平面图形中圆面积最大

Question

如题所述

Answer 1

第一步，证明所有周长为定值L的三角形中，正三角形面积最大。
根据海伦公式，三角形面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2=L/2
根据均值不等式，当且仅当p-a=p-b=p-c时，S取到最大值(√3/36)*L^2
即当a=b=c，三角形是正三角形时，面积最大
第二步，证明周长为定值L的正n+1边形面积，大于正n边形的面积
根据正n边形面积公式：
S(n)=(n/2)*R(n)^2*sin(2π/n)
=(n/2)*[(L/2n)/sin(π/n)]^2*2sin(π/n)cos(π/n)
=n*(L/2n)^2*cot(π/n)
=L^2/4ntan(π/n)
因为f(x)=xtan(π/x)在x>=3上是严格单调递减函数
所以S(n)是关于n>=3的严格单调递增函数
所以周长为定值L的正n+1边形面积S(n+1)，大于正n边形的面积S(n)
当n->∞时，正n边形->圆
综上所述，周长为定值L的平面图形中，圆面积最大