大一高等数学题，已经得知答案选D，但是不知道怎么做😑😑希望可以给出

Question

大一高等数学题，已经得知答案选D，但是不知道怎么做😑😑希望可以给出详细的过程，如果能举出具体的例子更好，本人定会采纳，谢谢

Answer 1

(A) 两个都发散，乘积也发散，则不可能收敛，则不存在极限
(B)有界和无界相乘，还是无界，不存在极限
(C)如果xn有界，并且是0，那么yn可以不是无穷小量。比如yn可以是常量追问

D的话若1/xn是无穷小量，那么xn就是无穷大量了？那无穷小量与无穷大量的乘积也是无穷小吗？

追答

其实D这个选项不是非常完整，只能通过排除法
举个两个例子吧
xn是x^2，yn是1/y^3。xn*yn的极限就是0
但是
xn是x^3，yn是1/y^2。xn*yn的极限就是无穷大
xn是x^3，yn是1/y^3。xn*yn的极限就是1
你会发现，xn是无穷大，yn是无穷小，但是结果并不一样，所以xn和yn的幂，决定了结果是什么

追问

好的，知道了，谢谢你

Answer 2

要做到完全掌握相关知识，对这种选择题应该做到：对正确的选项能给予严格证明，对错误的选项能举出反例。原题解答如下：

（A）错误。反例：取xn=n, yn=1/n^2，则二者乘积的极限是0且xn发散，但yn是收敛的（极限为0）；
（B）错误。反例：取{xn}=:1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ...，{yn}=: 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ...，易知xn与yn乘积的极限是0，但二者都无界。
（C）错误。反例：取xn=1/n^2，yn=n，显然xn有界（收敛数列有界），但yn不是无穷小。
（D）正确。证明：利用乘积极限运算法则，由yn=(1/xn) * (xnyn)知 yn的极限是0.追问

谢谢