三角函数求值、化简与证明是三角中最基本的题型和常用的三角变换.三角函数的变换可能是角或函数名称，也可能是式子的结构形式.除了三角本身的变换方法外，常常根据所给条件和数学问题的结构等特征，运用所学知识将已知条件和数学问题进行转化，从而给出问题的答案.现就三角函数求值、化简与证明题的规律归纳总结如下.
一、三角函数求值问题
解答该类题目就发要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变用.要掌握求值问题的一些常规技巧.如：切割化弦，和积互化，异角化同角.要熟悉角的拆拼，变换的技巧，倍角与半角的相对性.如：
2 + 是 的半角， 是 的2倍角等.
三角函数求值问题分为非条件求值问题（就是在没有限定条件的情况下利用三角函数公式将其变形化简，最终达到求值的目的.化简变形的过程中，以构造特殊角和公因式为标准）.
和条件求值问题（就是在给出限定条件的情况下，利用三角函数公式将其变形化简，最终达到求值的目的，其中最主要的是注重条件和结论间的关系，找出并建立条件和结论之间的桥梁，正确熟练地使用三角函数的各种变形）.一般分为给角求值、给值求值、给值求角三种基本类型，
1.给角求值：即在不查表的前提下，求三角函数式的值.解答问题的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数..
例1：求下列各式的值
① ；②
答案：①1；② （注意 ）
2.给值求值：即给出三角函数值，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值 解答问题的关键是找出已知式与欲求式之间的角，运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
例2：①已知 求 的值；
②已知 且 求
答案：① .（注意 ，
；②
3.给值求角：即给出三角函数值，求符合条件的角 解答问题的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的.其中，如下两个步骤缺一不可：⑴根据题设条件，求出角的某一三角函数值；⑵讨论角的取值范围，必要时，还须根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小.
例3：①已知锐角 满足 求 的值.
②已知 且 求 的值.
答案：① ；②
二、三角函数式的化简
化简三角函数式就是为了更清楚地显示三角函数式中所含量之间的关系，以便于应用.
常用方法是：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等.
三角函数的化简要求是：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行三角函数式的恒等变形），使最后所得的结果中满足：
⑴所含函数和角的名类或种类最少；
⑵各项的次数尽可能地低；
⑶出现的项数最少；
⑷一般应使分母和根号下不含三角函数式；
⑸能求具体数值的要求出值.
例4.化简① ；② ；答案：①1；②
三、三角恒等式的证明
三角等式的证明就是利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整.
三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式
⑴无条件的等式证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等，不论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口.
⑵有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法.
化简三角函数式是三角恒等变形的基本内容.求值与证明都需要适当的化简，所谓化简应理解为“两变”“三凑”即：变角，变名.凑角、凑名、凑形式结构.目的是统一角或名，或出现同类项、公因子，以便消项或约分，达到化简之目标.
无论是求值、证明还是化简，常用的方法有：
① 直接应用公式.
② 切化弦，异名化同名，并角化同角.
例5 证明：
① ；②
例6.①已知 求证 .
②已知 ，求证 =1.
四、常见的三角变换
⑴函数名称的变换：
切化弦；异名化同名；
⑵角的变换：
2 + ； 是 的半角， 是 的2倍角等.
⑶1的变换： 等.
⑷和积变换：
⑸幂的升降变换：
一、三角函数求值问题
解答该类题目就发要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变用.要掌握求值问题的一些常规技巧.如：切割化弦，和积互化，异角化同角.要熟悉角的拆拼，变换的技巧，倍角与半角的相对性.如：
2 + 是 的半角， 是 的2倍角等.
三角函数求值问题分为非条件求值问题（就是在没有限定条件的情况下利用三角函数公式将其变形化简，最终达到求值的目的.化简变形的过程中，以构造特殊角和公因式为标准）.
和条件求值问题（就是在给出限定条件的情况下，利用三角函数公式将其变形化简，最终达到求值的目的，其中最主要的是注重条件和结论间的关系，找出并建立条件和结论之间的桥梁，正确熟练地使用三角函数的各种变形）.一般分为给角求值、给值求值、给值求角三种基本类型，
1.给角求值：即在不查表的前提下，求三角函数式的值.解答问题的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数..
例1：求下列各式的值
① ；②
答案：①1；② （注意 ）
2.给值求值：即给出三角函数值，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值 解答问题的关键是找出已知式与欲求式之间的角，运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
例2：①已知 求 的值；
②已知 且 求
答案：① .（注意 ，
；②
3.给值求角：即给出三角函数值，求符合条件的角 解答问题的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的.其中，如下两个步骤缺一不可：⑴根据题设条件，求出角的某一三角函数值；⑵讨论角的取值范围，必要时，还须根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小.
例3：①已知锐角 满足 求 的值.
②已知 且 求 的值.
答案：① ；②
二、三角函数式的化简
化简三角函数式就是为了更清楚地显示三角函数式中所含量之间的关系，以便于应用.
常用方法是：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等.
三角函数的化简要求是：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行三角函数式的恒等变形），使最后所得的结果中满足：
⑴所含函数和角的名类或种类最少；
⑵各项的次数尽可能地低；
⑶出现的项数最少；
⑷一般应使分母和根号下不含三角函数式；
⑸能求具体数值的要求出值.
例4.化简① ；② ；答案：①1；②
三、三角恒等式的证明
三角等式的证明就是利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整.
三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式
⑴无条件的等式证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等，不论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口.
⑵有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法.
化简三角函数式是三角恒等变形的基本内容.求值与证明都需要适当的化简，所谓化简应理解为“两变”“三凑”即：变角，变名.凑角、凑名、凑形式结构.目的是统一角或名，或出现同类项、公因子，以便消项或约分，达到化简之目标.
无论是求值、证明还是化简，常用的方法有：
① 直接应用公式.
② 切化弦，异名化同名，并角化同角.
例5 证明：
① ；②
例6.①已知 求证 .
②已知 ，求证 =1.
四、常见的三角变换
⑴函数名称的变换：
切化弦；异名化同名；
⑵角的变换：
2 + ； 是 的半角， 是 的2倍角等.
⑶1的变换： 等.
⑷和积变换：
⑸幂的升降变换：
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第1个回答 2020-06-19
【1】∵x+y=90º,且0＜x＜90º,∴0＜y＜90º,且y=90º-x.∴tany=tan(90º-x)=cotx=1/tanx.显然，tanx＞0且tany=1/tanx＞0.【2】由“基本不等式”可知，tanx+tany=tanx+(1/tanx)≥2.等号仅当x=y=45º时取得。∴tanx+tany≥2
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