微积分与高等数学概览
微积分的诞生起源于17-18世纪的牛顿和莱布尼茨，尽管初期存在逻辑上的瑕疵，但他们的贡献奠定了基础。19世纪的数学家们解决了这些问题，确保了基本初等函数，如三角、幂、指数和对数，在其定义域内实现了连续性。非初等函数如狄利克雷函数和黎曼函数，同样需要理解和记忆。
极限是微积分的核心概念，探讨了左/右极限、双侧极限以及振荡函数的性质。《课本补充》中深入解析极限思想，等价无穷小、重要极限和洛必达法则等，这些都是理解和应用微积分的关键工具。
连续性是微分学的基础，包括连续图像和间断点的定义。通过分析分段函数和介值定理，我们能更好地理解函数在不同情况下的连续性。
微分部分，切线问题揭示了导数的威力。实分析中，单变量的可微与可导等价，而多变量情况下的可微意味着函数图形没有尖角。证明导数存在的方法多样，从导数定义到图像分析，理解尖点、定义域外和导数不等的情况对于可导性至关重要。费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理丰富了微分理论，多元微积分扩展至偏导数、全微分与梯度。
积分是微积分的另一大支柱，用于求解面积、计算不定积分并理解定积分。泰勒多项式则提供了复杂函数的逼近，反映出函数在不同点的近似行为。
微分方程，作为牛顿与莱布尼茨的又一贡献，广泛应用于物理、工程等领域。一阶微分方程有唯一解，而二阶方程可能需要两个初始条件，解的表达依赖于特征根。在信号系统分析中，微分方程帮助我们理解零输入和零状态响应。
空间几何中，向量理论和向量运算，如模、方向和积，是理解几何学的重要工具。从平行四边形法则到平面和曲线方程，向量在几何学中的作用不可忽视。
重积分与定积分分别对应着质量与面积的关系，二重积分和三重积分分别用于计算体积和质量。曲线积分与曲面积分则揭示了几何量的更深层次含义，如格林公式揭示了二重积分与曲线积分的关系，而高斯公式则展示了三重积分与曲面面积的关系。
无穷级数和积分变换，如傅里叶级数和傅里叶变换，是微积分在信号处理和频谱分析中的重要应用，它们帮助我们理解信号的频域特性，是现代科技中的基石。
学习微积分与高等数学是一段探索数学奥秘的旅程，每个概念都紧密相连，共同构建起数学理论的坚实基础。