复合函数的求导公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

极限链式法则是求复合函数导数的一个法则。若h(x)=f(g(x))则h'(x)=f'(g(x))g'(x)。

所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g(f(x))=3x+3。

证法

y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。

证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α（lim(Δu->0)α＝0)。

当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu。

但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得：

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx。

=lim(Δx->0)/Δx。

=f'(u)lim(Δx->0)Δy/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx。

又g(x)在x处连续（因为它可导）,故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0。

则lim(Δx->0)α＝0。

最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。