天津理科2014 高考数学20题 ​设f（x）=x-ae^x,a属于R,已知函数

Question

设f（x）=x-ae^x,a属于R,已知函数y=f（x）有两个零点x1,x2,且x1<x2.
(1)求a的取值范围;
(2)证明:x2/x1随着a的减小而增大;
(3)证明x1+x2随着a的减小而增大.
求大神解答这道题啦，必重谢，谢谢喽

Answer 1

分析：
（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；
（Ⅱ）由f（x）=0，得a=x/e^x，设g（x）=x/e^x，判定g（x）的单调性即得证；
（Ⅲ）由于x1=ae^x1，x2=ae^x2，则x2-x1=lnx2-lnx1=ln(x2/x1)，令x2/x1=t，整理得到x1+x2=
[(t+1)lnt/t−1]，令h（x）=[(x+1)lnx/x−1]，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=-lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-lna） -lna （-lna，+∞）
f′（x） + 0 -
f（x） 递增 极大值-lna-1 递减
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-lna），减区间是（-lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s1∈（-∞，-lna），满足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（-lna，+∞），满足f（s2）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s1=0，满足s1∈（-∞，-lna），且f（s1）=-a＜0，
取s2=2/a+ln（2/a），满足s2∈（-lna，+∞），且f（s2）=（2/a-e^(2/a)）+（ln2/a-e^(2/a)）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
（Ⅱ）证明：由f（x）=x-ae^x=0，得a=(x/e^x)，设g（x）=(x/e^x)，由g′（x）=((1−x)/e^x)，得g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且，当x∈（-∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e^-1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；
对于任意的a1、a2∈（0，e^-1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=ai，其中0＜X1＜1＜X2；
g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；
又由X、Y＞0，得X2/X1＜Y2/X1＜Y2/Y1；
∴x2/x1随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明：∵x1=ae^x1，x2=ae^x2，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；
∴x2-x1=lnx2-lnx1=ln(x2/x1)，设x2/x1=t，则t＞1，
∴
{x2−x1＝lnt
{x2＝x1t ，
解得x1=lnt/(t−1)，x2=tlnt/(t−1)，
∴x1+x2=(t+1)lnt/(x−1)…①；
令h（x）=(x+1)lnx/(x−1)，x∈（1，+∞），则h′（x）=−2lnx+x−(1/x)/[(x−1)^2]；
令u（x）=-2lnx+x-(1/x)，得u′（x）=((x−1)/x)^2，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．
由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，
∴x1+x2随着a的减小而增大．

Answer 2

本题考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题,也考查了函数思想,化归思想,抽象概括能力和分析解决问题的能力,答案看http://gz.qiujieda.com/exercise/math/804214/这道题的综合性还是比较强的

设f（x）=x-ae^x,a属于R,已知函数y=f（x）有两个零点x1,x2,且x1<x2.
(1)求a的取值范围;
(2)证明:x2/x1随着a的减小而增大;
(3)证明x1+x2随着a的减小而增大.

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