线性代数，解空间与子空间的关系和区别？

Question

向量组的秩=子空间的维数，对吧？
n元齐次线性方程组解空间的维数=n-方程组的系数矩阵的秩，对吧？
这两个有关系吗？怎么区别开？有点晕。。。

Answer 1

假设A为方阵。
Ax=0； 当A满秩的时候， x只有唯一的解，即 x=0； 一个点，维度极为0；
也就是说 A的列向量是线性不相关的。如果研究Ax=b， 你也可以用高斯消元法借出x的解。

当A不满秩的时候，存在冗余的列向量，这些冗余的列向量可以通过其他列向量线性表出。
那么x的数量就为无穷多个。
比如r（A）=n-1. 那么解空间是用一条直线表达，他的维度是1. 以此类推。
例子
A=[1 1; 2 2] 那么我们得到 是一条直线 x1 +x2 =0.
借此我们还可以研究“补空间”的概念。 他也是所有齐次方程解集组成的空间。
其实呢 对于工科学生呢 线性代数只要弄懂 Ax=0， 以及 Ax=b 就“万事大吉”了。 特别是如果你学的是自动化专业，在今后研究生阶段学习线性系统的时候会有很大帮助，线代的重要性甚至比高数还重要。