若函数f（x）在（a，b）内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b.证明：在（x1，x3）内至少

Question

若函数f（x）在（a，b）内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b.证明：在（x1，x3）内至少有一点的二阶导数为0.

Answer 1

∵f(x)的二阶导数存在
∴f(x)的一阶导数存在
∴f(x)连续
∵f(x)在〔x1、x2〕上连续，在（x1，x2）内可导，f(x1)=f(x2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c1属于（x1，x2），使得f‘(c1)=0
同理，f(x)在[x2，x3]上连续，在(x2，x3)内可导，f(x2)=f(x3)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c2属于（x2，x3），使得f’(c2)=0
又∵f'(x)在〔c1，c2〕上连续，在（c1，c2）内可导，f'(c1)=f'(c2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个ε属于（c1，c2），使得f''(ε)=0
而（c1，c2）包含于（a，b）

Answer 2

存在ξ1∈(x1,x2)使得f'(ξ1)=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=0
存在ξ2∈(x2,x3)使得f'(ξ2)=[f(x2)-f(x3)]/(x2-x3)=0
所以
存在ξ∈(ξ1,ξ2)使得f''(ξ)=[f'(ξ1)-f'(ξ2)]/(ξ1-ξ2)=0
其中ξ∈(x1,x3)且f''(ξ)=0即得证