F(s)的拉普拉斯反变换是什么？

Question

如题所述

Answer 1

要求出F(s)的拉普拉斯反变换f(t)，可以使用部分分式分解和查表法。具体步骤如下：
首先，对分母进行因式分解：s(s^2+4) = s(s+j2)(s-j2) = s(s+2j)(s-2j)
然后，将F(s)表示为部分分式的形式：
F(s) = (s+2)/(s(s^2+4)) = A/s + B/(s+2) + (Cs+D)/(s^2+4)
其中，A、B、C、D是待定系数，需要通过求解得到。将F(s)化简为通分形式，得到：
(s+2) = A(s+2)(s^2+4) + B(s)(s^2+4) + (Cs+D)s(s+2)
将s分别取0、-2j和2j，得到以下三个方程：
2 = 8A + 0 + 0
-2j-2 = 0 + (-2j)B + (-2j)D
2j-2 = 0 + (2j)B + (2j)D
通过解方程组，可以得到A=1/4，B=-1/2，C=0，D=3/4。因此，F(s)可以表示为：
F(s) = 1/(4s) - 1/(2s+4) + (3s/4)/(s^2+4)
现在可以查表得到反变换，即：
f(t) = (1/4 - 1/2 e^(-2t) + 3/4 cos(2t))u(t)
其中，u(t)表示单位阶跃函数。因此，F(s)的拉普拉斯反变换f(t)为上述式子。