∫cos(lnx) dx的不定积分为多少？

Question

如题所述

Answer 1

∫cos(lnx)dx的不定积分为1/2（x*cos(lnx)+x*sin(lnx)）+C。

解：令lnx=t，则x=e^t

∫cos(lnx)dx=∫costd(e^t)

=e^t*cost-∫e^tdcost

=e^t*cost+∫e^t*sintdt

=e^t*cost+∫sintd(e^t)

=e^t*cost+e^t*sint-∫e^tdsint

=e^t*cost+e^t*sint-∫e^t*costdt

=e^t*cost+e^t*sint-∫costd(e^t)

则，2∫costd(e^t)=e^t*cost+e^t*sint+C

得，∫costd(e^t)=1/2（e^t*cost+e^t*sint）+C

即，∫cos(lnx)dx=1/2（e^t*cost+e^t*sint）+C

=1/2（x*cos(lnx)+x*sin(lnx)）+C

扩展资料：

1、积分的求解：F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

2、常见的积分表公式有：∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫secx²dx=tanx+C、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C、∫secxtanxdx=secx+C

3、分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

分部积分法的公式为：∫μ（x）v'（x）dx=∫μ（x）dv（x）=μ（x）*v（x）-∫v（x）dμ（x）

参考资料来源：百度百科-积分公式

参考资料来源：百度百科-分部积分法

Answer 2

方法如下，请作参考：

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Answer 3

∫cos(lnx) dx
=xcos(lnx) +∫sin(lnx) dx
=xcos(lnx) +xsin(lnx) -∫cos(lnx) dx
2∫cos(lnx) dx =xcos(lnx) +xsin(lnx)
∫cos(lnx) dx =(1/2)[xcos(lnx) +xsin(lnx)] + C