随机变量的概率密度函数怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们求解常数a，b，c。由于分布函数F(x, y)是关于x和y的累积分布函数，我们可以通过计算一些特定点上的函数值来确定常数。

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当x趋近于负无穷时，F(x, y)趋近于0。因此，我们有：
lim(x→-∞) F(x, y) = lim(x→-∞) a(b + arctan(x))(c + arctan(2y)) = 0

由此可得，a * b * c = 0。

当x趋近于正无穷时，F(x, y)趋近于1。因此，我们有：
lim(x→+∞) F(x, y) = lim(x→+∞) a(b + arctan(x))(c + arctan(2y)) = 1

由此可得，a * b * c = 1。

根据上述两个方程，我们可以得出a，b，c的取值为a = 1，b = 1，c = 1。

接下来，我们求解概率密度函数。概率密度函数可以通过对分布函数求偏导数来获得。

对于X和Y的概率密度函数f(x, y)，我们有：
f(x, y) = ∂²F(x, y)/∂x∂y

对分布函数F(x, y)进行求导，我们得到：
∂F(x, y)/∂x = (1 + arctan(x)) / (1 + x²)
∂F(x, y)/∂y = (1 + arctan(2y)) / 2

再对上述两个偏导数进行求导，我们得到：
∂²F(x, y)/∂x∂y = 1 / (2(1 + x²))

因此，二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为：
f(x, y) = 1 / (2(1 + x²))